Урок: закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, графически и аналитически.

Что такое случайна величина разобрано в этом уроке.

При табличном способе задания первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности, то есть

Такую величину называют рядом распределения дискретной случайной величины.

События

Х=х1, Х=х2, Х=хn образуют полную группу, так как в одном испытании случайная величина примет одно и только одно возможное значение. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, то есть p1 + p2 + pn = 1 или

Если     множество значений Х бесконечно, тоПример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х — стоимость возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Искомый закон распределения имеет вид:

Контроль; 0,01+0,1+0,89=1.
При графическом способе задания закона распределения на координатной плоскости строят точки (Xi:Pi), а   затем    соединяют   их отрезками прямой. Полученную ломаную линию называют многоугольником распределения. Для примера 1 многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

При аналитическом способе задания закона распределения указывают формулу, связывающую вероятности случайной величины с ее возможными значениями.

Примеры дискретных распределений

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q = 1- p . Рассмотрим случайную величину X — число появления события A в этих n испытаниях. Возможными значениями X являются x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . Вероятность этих возможных

значений определяется по формуле Бернулли P (k) = Ck *pk qn-k .

Получили закон распределения

Этот закон распределения называется биномиальным.

Распределение Пуассона

Если решить предыдущую задачу при условии, что число испытаний   n велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании мала, то можно получить формулу

Эта формула выражает закон распределения Пуассона для массовых ( n велико) и редких (p мало) событий. Существуют таблицы для определения Pn (k) .