Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, графически и аналитически.
Что такое случайна величина разобрано в этом уроке.
При табличном способе задания первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая их вероятности, то есть
X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
P | p1 | p2 | … | pi | … | pn |
Такую величину называют рядом распределения дискретной случайной величины.
События
Х=х1, Х=х2, Х=хn образуют полную группу, так как в одном испытании случайная величина примет одно и только одно возможное значение. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, то есть p1 + p2 + pn = 1 или
Если множество значений Х бесконечно, тоПример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х — стоимость возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Искомый закон распределения имеет вид:
X | 1000 | 100 | 0 |
P | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
Контроль; 0,01+0,1+0,89=1.
При графическом способе задания закона распределения на координатной плоскости строят точки (Xi:Pi), а затем соединяют их отрезками прямой. Полученную ломаную линию называют многоугольником распределения. Для примера 1 многоугольник распределения изображен на рисунке 1.
При аналитическом способе задания закона распределения указывают формулу, связывающую вероятности случайной величины с ее возможными значениями.
Примеры дискретных распределений
Биномиальное распределение
Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q = 1- p . Рассмотрим случайную величину X — число появления события A в этих n испытаниях. Возможными значениями X являются x1 = 0 , x2 = 1,…, xn+1 = n . Вероятность этих возможных
значений определяется по формуле Бернулли P (k) = Ck *pk qn-k .
Получили закон распределения
Этот закон распределения называется биномиальным.
Распределение Пуассона
Если решить предыдущую задачу при условии, что число испытаний n велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании мала, то можно получить формулу
Эта формула выражает закон распределения Пуассона для массовых ( n велико) и редких (p мало) событий. Существуют таблицы для определения Pn (k) .